Maths · sécuriser les débuts, exploiter les annales

1. Toute valeur propre est racine de tout polynôme annulateur : la liste des candidates est courte.
2. Le rang donne la dimension du noyau, donc celle du sous-espace propre associé à 0.
3. Dans ℂ, la trace est la somme des valeurs propres et le déterminant leur produit, comptées avec multiplicité.
4. Teste des vecteurs simples : si toutes les lignes ont la même somme s, le vecteur (1, …, 1) est propre pour s.

Exemple résolu. J, matrice n × n (n ≥ 2) dont tous les coefficients valent 1 : J² = nJ, donc les valeurs propres sont dans {0, n}. J est de rang 1, donc le sous-espace propre de 0 est de dimension n − 1. La trace vaut n : n est valeur propre simple, de vecteur propre (1, …, 1), et J est diagonalisable.

Le piège. Croire que toute racine d’un polynôme annulateur est valeur propre : X(X − 1) annule Iₙ, mais 0 n’est pas valeur propre de Iₙ.

Au concours, d’après les jurys.

• CCINP 2025 · Oral de mathématiques MP-MPI MP, MPI · Multiplicité et sous-espace propre « En fait, pour de trop nombreux candidats, la confusion entre multiplicité d’une valeur propre dans le polynôme caractéristique et dimension du sous-espace propre associé est fréquente. » rapport, p. 8
• Centrale-Supélec 2025 · Mathématiques 2 MP, MPI · Q2 « De plus, beaucoup trop de candidats semblent penser que si une matrice carrée A vérifie P (A) = 0 pour un certain polynôme non constant P , alors toutes les racines de P sont des valeurs propres de A. » rapport, p. 16 · la question, p. 2
• Centrale-Supélec 2025 · Mathématiques 2 MP, MPI · Q11 « Signalons que l’égalité de spectre d’une somme de matrices Sp(A + B) = Sp(A) + Sp(B) est un mythe (hormis si A ou B est une matrice scalaire). » rapport, p. 18 · la question, p. 3

1. Liste les valeurs propres possibles : toute valeur propre est racine d’un polynôme annulateur. Vérifie ensuite chaque candidate λ : elle est valeur propre si A − λI n’est pas inversible.
2. Calcule la dimension de chaque sous-espace propre, souvent par le rang : dim ker(A − λI) = n − rg(A − λI).
3. Maths approfondies : A est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions des sous-espaces propres vaut n, et n valeurs propres distinctes suffisent.
4. Maths appliquées : ces deux résultats ne sont pas au programme. Concatène des familles libres de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes : la famille obtenue est libre. Si elle compte n vecteurs, c’est une base, la matrice P de ces vecteurs est inversible et P⁻¹AP est diagonale.
5. Dans les deux voies, une matrice symétrique réelle est diagonalisable, et les valeurs propres apparaissent dans D dans l’ordre des colonnes de P.

Exemple résolu. A = (1 1 ; 0 1). (A − I₂)² = 0, donc 1 est la seule valeur propre possible. Si A était diagonalisable, la matrice diagonale D n’aurait que des 1 : D = I₂, donc A = P·I₂·P⁻¹ = I₂, ce qui est faux. A n’est pas diagonalisable, bien qu’elle soit inversible. Cet argument vaut dans les deux voies.

Le piège. Confondre diagonalisable avec inversible ou symétrique, ou prendre une condition suffisante pour une caractérisation : Iₙ n’a qu’une valeur propre et elle est diagonalisable. En maths appliquées, invoquer la somme des dimensions des sous-espaces propres : le rapport emlyon 2025 rappelle que ce critère n’est plus au programme, et l’EDHEC 2024 dit avoir pénalisé les théorèmes de diagonalisation sortis du programme en 2021.

Au concours, d’après les jurys.

• BCE 2025 · emlyon ECG · Exercice 2, Q5 « (Q5) a) Nous rappelons que la caractérisation des matrices diagonalisables à l'aide de la somme des dimensions des sous-espaces propres n'est plus au programme. » rapport, p. 3
• BCE 2025 · EDHEC ECG · vecteurs propres « Quant au théorème de concaténation de familles libres de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes, il est très loin d'être maîtrisé par l'ensemble des candidats. » rapport, p. 2
• BCE 2024 · emlyon ECG · diagonalisabilité « Trop de candidat.e.s semblent ne pas comprendre la diagonalisabilité. Elle est parfois confondue avec l’inversibilité voire avec la symétrie (égale à sa transposée). » rapport, p. 2

1. Bien défini : l’intégrale ou la série converge pour tout couple, souvent grâce à |fg| ⩽ (f² + g²)/2.
2. Symétrique, puis linéaire à gauche : la bilinéarité suit par symétrie.
3. Positif : φ(f, f) ⩾ 0.
4. Défini : si φ(f, f) = 0, l’intégrale nulle d’une fonction continue et positive impose f² = 0 sur l’intervalle ; pour des polynômes, une infinité de racines impose P = 0.

Exemple résolu. Sur ℝ[X], φ(P, Q) = ∫₀^{+∞} P(t)Q(t)e^{−t} dt. L’intégrale converge : P(t)Q(t)e^{−t} est négligeable devant 1/t² en +∞ (croissances comparées). Symétrie et linéarité sont immédiates, et φ(P, P) ⩾ 0. Si φ(P, P) = 0, la fonction continue et positive t ↦ P(t)²e^{−t} est nulle sur [0, +∞[ ; P a une infinité de racines, donc P = 0.

Le piège. Oublier de justifier que l’intégrale existe, ou oublier la continuité dans l’argument « intégrale nulle d’une fonction positive » : une fonction positive non continue peut avoir une intégrale nulle sans être nulle.

Au concours, d’après les jurys.

• Centrale-Supélec 2024 · Mathématiques 1 PSI · Q19 « […] il ne faut pas oublier de justifier l’existence de l’intégrale définissant le produit scalaire ; il ne faut pas oublier non plus l’hypothèse de continuité pour le caractère défini du produit scalaire […]. » rapport, p. 14 · la question, p. 2
• Mines-Ponts 2023 · Mathématiques 2 PC · Q12 « Nous aimerions voir écrit clairement qu’une somme de réels positifs est nulle si et seulement si chaque terme est nul. » rapport, p. 81

1. Si uₙ ne tend pas vers 0, la série diverge grossièrement.
2. Cherche un équivalent ou une majoration par une série de référence : ∑ 1/n^α converge si et seulement si α > 1 ; ∑ qⁿ converge si et seulement si |q| < 1.
3. Si le terme contient des factorielles ou des puissances n-ièmes, essaie la règle de d’Alembert sur uₙ₊₁/uₙ.
4. Si uₙ = f(n) avec f monotone, compare la somme à l’intégrale de f.

Exemple résolu. uₙ = ln(1 + 1/n²) est positif et équivalent à 1/n². La série de Riemann ∑ 1/n² converge (α = 2 > 1), donc ∑ uₙ converge.

Le piège. Utiliser un équivalent pour une série de signe variable : (−1)ⁿ/√n et (−1)ⁿ/√n + 1/n sont équivalents, mais la première série converge et la seconde diverge.

Au concours, d’après les jurys.

• BCE 2026 · emlyon ECG · séries « Pour les questions de convergence de séries, il est pertinent d’utiliser les outils de comparaison. Il faut néanmoins comparer les termes généraux des séries et pas les séries elles-mêmes. » rapport, p. 3
• CCINP 2026 · Mathématiques PC · Q30 « Q30 – Les valeurs absolues sont souvent oubliées lors de l’application de la règle de d’Alembert. » rapport, p. 3
• CCINP 2025 · Oral MP, MPI · d’Alembert « Trop de candidats pensent encore que si <1 (oubli de passage à la limite) alors, d’après un d’Alembert, la série de terme général un converge. » rapport, p. 5

1. Trouve un intervalle I stable par f et contenant u₀ : tous les termes y restent.
2. Étudie le signe de f(x) − x sur I : positif, la suite est croissante ; négatif, décroissante.
3. Une suite monotone et bornée converge.
4. Si f est continue sur I et que la limite ℓ appartient à I, alors f(ℓ) = ℓ : la limite est un point fixe.

Exemple résolu. u₀ = 1 et uₙ₊₁ = √(2 + uₙ). L’intervalle [0, 2] est stable. Sur [0, 2], √(2 + x) ≥ x, car x² − x − 2 = (x − 2)(x + 1) ≤ 0 : la suite est croissante et majorée par 2, donc converge vers ℓ ∈ [1, 2] avec √(2 + ℓ) = ℓ, soit ℓ = 2.

Le piège. Écrire f(ℓ) = ℓ avant d’avoir prouvé la convergence, ou croire que « f croissante » rend la suite croissante : elle la rend monotone, et le sens dépend du signe de u₁ − u₀.

Au concours, d’après les jurys.

• BCE 2025 · emlyon ECG · suite récurrente « c) Le fait que la suite (un) admette nécessairement une limite est rarement justifié. » rapport, p. 2
• Agro-Véto 2024 · Modélisation mathématique et informatique BCPST · Suite croissante majorée « — Il est souvent affirmé que « la suite est croissante est majorée par S donc elle converge vers S », alors que cela prouve seulement la convergence. » rapport, p. 3
• Polytechnique 2023 · Mathématiques PC · Q6 « Une majorité de candidats a incorrectement déduit l'unicité du point fixe à partir de l'unicité de la limite. » rapport, p. 2 · la question, p. 3

1. Produits, quotients et puissances fixées se transmettent : si u ∼ v et w ∼ z, alors uw ∼ vz et u/w ∼ v/z.
2. Sommes, différences et compositions ne se transmettent pas : passe par un développement limité ou asymptotique, avec un o( ) écrit.
3. Pour l’exponentielle, e^{u} ∼ e^{v} équivaut à u − v → 0 ; pour le logarithme, factorise d’abord : ln(n + 1) = ln n + ln(1 + 1/n).
4. Pour prouver u ∼ v, montre que u/v tend vers 1, v ne s’annulant pas à partir d’un certain rang.

Exemple résolu. n + √n ∼ n, mais e^{n + √n} n’est pas équivalent à e^{n} : leur quotient vaut e^{√n}, qui tend vers +∞. De même, (n + 1)^{n+1} n’est pas équivalent à n^{n+1} : leur quotient (1 + 1/n)^{n+1} tend vers e, pas vers 1.

Le piège. Passer un équivalent à l’exponentielle, soustraire deux équivalents, ou annoncer un équivalent nul : seule une suite nulle à partir d’un certain rang est équivalente à 0.

Au concours, d’après les jurys.

• BCE 2025 · emlyon ECG · Problème 1, question 7 « La Question 7. du Problème 1 a permis de mettre en lumière d’énormes difficultés pour une majorité de candidat.e.s à manipuler correctement (et sans écrire de réelles horreurs) les équivalents. » rapport, p. 3
• Mines-Ponts 2025 · Mathématiques 2 PC · Q19 « Attention, affirmer que ln(n + 1) est équivalent en l’infini à ln(n) sans le justifier par une factorisation dans le logarithme, sera considéré comme une composition d’équivalent et sanctionné. » rapport, p. 72
• Mines-Ponts 2025 · Oral de mathématiques MP-MPI MP, MPI · Développements limités « Les développements limités classiques sont en général bien connus, mais il manque souvent le o, dans les opérations les ordres ne sont pas respectés et il y a presque toujours des erreurs de calcul. » rapport, p. 9

1. Justifie d’abord la convergence : fonction continue sur l’intervalle, comparaison à une intégrale de référence. ∫₁^{+∞} dt/t^α converge si et seulement si α > 1 ; ∫₀^{+∞} e^{−αt} dt converge si et seulement si α > 0.
2. Fixe A dans l’intervalle et intègre par parties sur le segment [a, A], avec des fonctions de classe C¹ sur ce segment.
3. Fais tendre A vers la borne : chaque terme doit avoir une limite finie, que tu justifies.

Exemple résolu. ∫₀^{+∞} t·e^{−t} dt. Pour A > 0, par parties sur [0, A] avec u(t) = t et v(t) = −e^{−t} : ∫₀^A t·e^{−t} dt = [−t·e^{−t}]₀^A + ∫₀^A e^{−t} dt = −A·e^{−A} + 1 − e^{−A}. Quand A → +∞, A·e^{−A} → 0 par croissances comparées et e^{−A} → 0 : l’intégrale converge et vaut 1.

Le piège. Écrire directement des crochets jusqu’à +∞ : le programme ECG réserve l’intégration par parties aux segments, et le rapport EDHEC 2024 l’interdit en toutes lettres. Autre erreur, lourdement pénalisée par emlyon en 2025 : invoquer ∫₀^{+∞} dt/t² au lieu de ∫₁^{+∞} dt/t², alors que la première diverge en 0.

Au concours, d’après les jurys.

• BCE 2025 · emlyon ECG · intégrale de Riemann : ∫₀ au lieu de ∫₁ « Certains mentionnent la convergence de l’intégrale […] au lieu de l’intégrale de Riemann […] lourdement pénalisé. » rapport, p. 2
• BCE 2024 · EDHEC ECG · intégrale impropre « Le programme interdit de procéder à une intégration par parties sur une intégrale impropre donc il est également interdit d’écrire des crochets d’intégration avec des bornes infinies. » rapport, p. 3

1. Écris X = 1(A₁) + … + 1(Aₙ), où 1(A) vaut 1 si A est réalisé et 0 sinon.
2. Par linéarité, E(X) = P(A₁) + … + P(Aₙ), sans aucune hypothèse d’indépendance.
3. Pour la variance, développe : V(X) est la somme des variances plus deux fois la somme des covariances Cov(1(Aᵢ), 1(Aⱼ)) pour i < j.

Exemple résolu. n lettres sont glissées au hasard dans leurs n enveloppes. Avec Aᵢ = « la lettre i est dans sa bonne enveloppe », P(Aᵢ) = 1/n, donc le nombre moyen de lettres bien placées vaut n × 1/n = 1, quel que soit n.

Le piège. Croire que la linéarité de l’espérance demande l’indépendance. C’est la variance d’une somme qui en a besoin, ou au moins des covariances nulles.

1. Nomme un système complet d’événements (A₁, …, Aₙ) : deux à deux incompatibles et de réunion Ω.
2. Écris P(B) = P(A₁) P(B | A₁) + … + P(Aₙ) P(B | Aₙ), en sommant sur tous les cas, chacun de probabilité non nulle.
3. Pour une suite d’états (Xₙ), le système complet est formé des événements (Xₙ₋₁ = j), pour toutes les valeurs j possibles.

Exemple résolu. Urne 1 : 2 boules blanches et 1 noire ; urne 2 : 1 blanche et 3 noires. On choisit l’urne 1 avec probabilité 1/3, l’urne 2 avec probabilité 2/3, puis on tire une boule. Avec le système complet (U₁, U₂) : P(B) = (1/3)(2/3) + (2/3)(1/4) = 2/9 + 1/6 = 7/18.

Le piège. Oublier la somme sur tous les états précédents, ou écrire « A | B » comme s’il s’agissait d’un événement : seule P(A | B) a un sens.

Au concours, d’après les jurys.

• BCE 2026 · ESSEC (maths 2) ECG · question 9 « Dans la question 9, la formule des probabilités totales n'est pas souvent évoquée (et un système complet d'événements). » rapport, p. 3
• BCE 2026 · emlyon ECG · événements et probabilités « Il est fréquent de voir des intersections de probabilités ou des sommes d’événements ce qui n’a bien sûr pas de sens. » rapport, p. 4
• CCINP 2025 · Oral PSI · probabilités conditionnelles « Probabilités Les définitions et notations doivent être maîtrisées : la distinction entre A ∩ B et A│B est souvent mal faite. » rapport, p. 3

1. Écris F_Y(y) = P(g(X) ≤ y) et transforme l’événement en un événement sur X, en tenant compte du sens de variation de g.
2. Exprime F_Y à l’aide de F_X, zone de valeurs de y par zone de valeurs.
3. Vérifie que F_Y est continue et de classe C¹ sauf en un nombre fini de points, puis dérive pour obtenir une densité.

Exemple résolu. X de loi uniforme sur ]0, 1] et Y = −ln(X)/λ, avec λ > 0. Pour y ≥ 0, P(Y ≤ y) = P(X ≥ exp(−λy)) = 1 − exp(−λy) ; pour y < 0, P(Y ≤ y) = 0. Y suit la loi exponentielle de paramètre λ.

Le piège. Oublier de retourner l’inégalité quand g est décroissante, ou dériver avant d’avoir traité les zones où F_Y vaut 0 ou 1.

Au concours, d’après les jurys.

• BCE 2025 · emlyon ECG · fonction de répartition « Le théorème d’inversion n’est pas un résultat du programme, il convient de démontrer la chose à chaque fois et de bien citer la stricte croissance de F . » rapport, p. 3
• BCE 2025 · EDHEC ECG · fonctions de répartition « Globalement, c'est l'exercice le mieux réussi de l'avis de la majorité des correcteurs bien que la gestion des fonctions de répartition ait souvent posé problème. » rapport, p. 2
• BCE 2024 · EDHEC ECG · fonctions de répartition « Cet exercice a été relativement bien réussi en ce qui concerne les premières questions mais beaucoup de candidats ont de grosses difficultés à déterminer les fonctions de répartition demandées (souvent on assiste à des parodies de preuve lorsque l’énoncé donne le résultat). » rapport, p. 2

1. Markov : si X ≥ 0 et a > 0, P(X ≥ a) ≤ E(X)/a.
2. Bienaymé-Tchebychev : si X admet une variance, P(|X − E(X)| ≥ ε) ≤ V(X)/ε² pour tout ε > 0.
3. La moyenne de n variables indépendantes de même loi, de variance σ², a pour variance σ²/n : c’est le ressort de la loi faible des grands nombres.

Exemple résolu. 1 000 lancers d’une pièce équilibrée, fréquence F de pile : E(F) = 1/2 et V(F) = 1/(4 × 1 000). Donc P(|F − 1/2| ≥ 0,05) ≤ (1/4 000)/0,05² = 0,1.

Le piège. Appliquer Markov à une variable qui peut être négative, ou prendre la borne pour une estimation : elle majore, souvent largement.

Au concours, d’après les jurys.

• BCE 2026 · ESSEC (maths 2) ECG · inégalité de Markov « La plupart des candidats ne se soucient pas de la positivité de la variable à laquelle ils appliquent la formule de Markov. » rapport, p. 3
• CCINP 2025 · Mathématiques PSI · Bienaymé-Tchebychev « L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev est connue, mais trop peu de candidats rappellent l’énoncé général et l’appliquent directement au cas particulier. » rapport, p. 3
• Mines-Ponts 2025 · Mathématiques 1 MP, MPI · Q6 « L’inégalité de Markov était indiquée, elle était en général bien connue mais souvent mal appliquée. » rapport, p. 65

1. Écris une fonction qui réalise une fois l’expérience et renvoie le résultat.
2. Répète-la N fois et calcule la fréquence de l’événement : c’est une estimation de sa probabilité.
3. Compare à la valeur théorique quand elle existe ; l’écart-type de la fréquence vaut √(p(1 − p)/N), au plus 1/(2√N).

Exemple résolu. import numpy.random as rd ; X = rd.binomial(10, 0.3, 10000) ; print((X >= 5).mean()) donne une valeur proche de P(X ≥ 5) = 0,1503 pour la loi binomiale de paramètres 10 et 0,3. Avec N = 10 000, l’écart-type de la fréquence est d’environ 0,004.

Le piège. Conclure d’une seule simulation avec un N trop petit : avec N = 100, la fréquence peut s’écarter de plusieurs points de la probabilité.