Mathématiques · la rigueur qui rapporte des points

1. Vérifie que le nombre de vecteurs est égal à la dimension de l’espace.
2. Montre seulement la liberté : une combinaison linéaire nulle force tous les coefficients à être nuls, ou le déterminant de la matrice des coordonnées dans une base connue est non nul.
3. Conclus : une famille libre de n vecteurs dans un espace de dimension n est une base.

Exemple résolu. Dans ℝ₂[X], la famille (1, X − 1, (X − 1)²) a 3 éléments et dim ℝ₂[X] = 3. Ses degrés sont 0, 1 et 2, deux à deux distincts : une famille de polynômes non nuls de degrés deux à deux distincts est libre. C’est donc une base.

Le piège. Conclure « base » après la seule liberté sans avoir comparé le nombre de vecteurs à la dimension, ou appliquer l’argument en dimension infinie, où il ne vaut pas.

Au concours, d’après les jurys.

• Centrale-Supélec 2024 · Mathématiques 1 PSI · Q22 « Dans la question 22, beaucoup de candidats ont affirmé que l’orthogonalité impliquait la liberté ! » rapport, p. 14 · la question, p. 3

1. En dimension finie : montre F ∩ G = {0}, puis dim F + dim G = dim E.
2. Sinon, par analyse-synthèse : suppose x = f + g avec f ∈ F et g ∈ G, et exprime f et g en fonction de x ; l’analyse donne l’unicité.
3. Synthèse : vérifie que les f et g trouvés sont bien dans F et G et que leur somme vaut x ; c’est l’existence.

Exemple résolu. Dans Mₙ(ℝ), avec Sₙ les matrices symétriques et Aₙ les antisymétriques : si M = S + A, alors Mᵀ = S − A, donc S = (M + Mᵀ)/2 et A = (M − Mᵀ)/2. Réciproquement, ces deux matrices sont symétrique et antisymétrique, et leur somme vaut M. Donc Mₙ(ℝ) = Sₙ ⊕ Aₙ.

Le piège. Ne montrer qu’une des deux propriétés, F + G = E ou F ∩ G = {0}, sans la compléter par l’autre ou par l’égalité des dimensions.

Au concours, d’après les jurys.

• CCINP 2025 · Oral MP, MPI · supplémentaires « En dimension infinie, pour prouver que deux sous-espaces vectoriels sont supplémentaires sur E, peu de candidats ne pensent pas assez rapidement à raisonner par analyse et synthèse ou quand ils y pensent, la phase de synthèse ou vérification que la décomposition obtenue convient, est très souvent oubliée. » rapport, p. 7
• CCINP 2025 · Oral de mathématiques MP-MPI MP, MPI · Sous-espaces supplémentaires « En dimension infinie, pour prouver que deux sous-espaces vectoriels sont supplémentaires sur E, peu de candidats ne pensent pas assez rapidement à raisonner par analyse et synthèse ou quand ils y pensent, la phase de synthèse ou vérification que la décomposition obtenue convient, est très souvent oubliée. » rapport, p. 7
• Polytechnique 2025 · Mathématiques PC · Q16 « Dans l'application de cette formule, on remarque qu'un nombre non négligeable de candidats confond la somme de deux sous-espaces vectoriels avec leur union. » rapport, p. 4 · la question, p. 5

1. Si A annule un polynôme scindé à racines simples, A est diagonalisable, et ses valeurs propres sont parmi les racines.
2. Sinon, calcule le polynôme caractéristique : s’il est scindé et que, pour chaque valeur propre, la dimension du sous-espace propre égale la multiplicité, A est diagonalisable.
3. Raccourcis : n valeurs propres distinctes suffisent ; une matrice symétrique réelle est diagonalisable dans une base orthonormée (théorème spectral).

Exemple résolu. Si A² = A, le polynôme X² − X = X(X − 1) annule A ; il est scindé à racines simples, donc A est diagonalisable, semblable à une matrice diagonale de 0 et de 1. Conséquence : son rang est égal à sa trace.

Le piège. Prendre « n valeurs propres distinctes » pour une condition nécessaire : Iₙ est diagonalisable avec une seule valeur propre. Et le théorème spectral ne vaut que pour les matrices symétriques réelles.

Au concours, d’après les jurys.

• CCINP 2026 · Mathématiques PSI · réduction « Lacunes profondes : critères de diagonalisabilité mal maîtrisés, sev stables de dimension 1 non identifiés aux droites propres, unicité rarement démontrée, conditions de somme directe mal comprises. » rapport, p. 2
• Mines-Ponts 2026 · Mathématiques 1 PSI · Q13 « Question traitée avec succès dans les bonnes copies ; on note toutefois trop souvent une confusion entre multiplicité d’une valeur propre et dimension du sous-espace propre associé. » rapport, p. 73
• CCINP 2025 · Mathématiques 2 MP, MPI · diagonalisabilité « Avoir un polynôme caractéristique simplement scindé est une condition suffisante de diagonalisabilité mais elle n’est pas nécessaire. » rapport, p. 3

1. Trouve les valeurs propres : λ est valeur propre si A − λI n’est pas inversible, c’est-à-dire si rg(A − λI) < n. Pour une matrice triangulaire, ce sont les coefficients diagonaux.
2. Pour chaque valeur propre, calcule la dimension du sous-espace propre par le théorème du rang : dim ker(A − λI) = n − rg(A − λI).
3. A est diagonalisable si et seulement si la somme de ces dimensions vaut n. Si A a n valeurs propres distinctes, elle l’est.
4. Pour diagonaliser, juxtapose des bases des sous-espaces propres : la famille obtenue est libre. Si elle compte n vecteurs, la matrice P qu’ils forment est inversible et P⁻¹AP est diagonale, avec les valeurs propres dans l’ordre des colonnes de P.
5. Une matrice symétrique réelle est diagonalisable (théorème spectral).

Exemple résolu. A = (1 1 ; 0 1) est triangulaire : sa seule valeur propre est 1. A − I₂ = (0 1 ; 0 0) est de rang 1, donc le sous-espace propre associé à 1 est de dimension 2 − 1 = 1. La somme des dimensions vaut 1 < 2 : A n’est pas diagonalisable.

Le piège. Chercher les valeurs propres avec un polynôme annulateur : la notion est hors programme en BCPST. Le rapport Agro-Véto 2023 relève aussi des opérations illicites sur les lignes, qui doivent être écrites sous la forme Li ← …, et regrette que trop peu de candidats s’étonnent de trouver quatre valeurs propres ou un sous-espace propre réduit au vecteur nul.

Au concours, d’après les jurys.

• Agro-Véto 2023 · Méthodes de calcul et raisonnement BCPST · Réduction d’une matrice « De nombreuses erreurs de calculs, des opérations illicites (rappelons que les opérations effectuées doivent figurer sur la copie sous la forme Li ← ...) et une mauvaise maîtrise des nombres complexes. » rapport, p. 4

1. Toute valeur propre est racine de tout polynôme annulateur : la liste des candidates est courte.
2. Le rang donne la dimension du noyau, donc celle du sous-espace propre associé à 0.
3. Dans ℂ, la trace est la somme des valeurs propres et le déterminant leur produit, comptées avec multiplicité.
4. Teste des vecteurs simples : si toutes les lignes ont la même somme s, le vecteur (1, …, 1) est propre pour s.

Exemple résolu. J, matrice n × n (n ≥ 2) dont tous les coefficients valent 1 : J² = nJ, donc les valeurs propres sont dans {0, n}. J est de rang 1, donc le sous-espace propre de 0 est de dimension n − 1. La trace vaut n : n est valeur propre simple, de vecteur propre (1, …, 1), et J est diagonalisable.

Le piège. Croire que toute racine d’un polynôme annulateur est valeur propre : X(X − 1) annule Iₙ, mais 0 n’est pas valeur propre de Iₙ.

Au concours, d’après les jurys.

• CCINP 2025 · Oral de mathématiques MP-MPI MP, MPI · Multiplicité et sous-espace propre « En fait, pour de trop nombreux candidats, la confusion entre multiplicité d’une valeur propre dans le polynôme caractéristique et dimension du sous-espace propre associé est fréquente. » rapport, p. 8
• Centrale-Supélec 2025 · Mathématiques 2 MP, MPI · Q2 « De plus, beaucoup trop de candidats semblent penser que si une matrice carrée A vérifie P (A) = 0 pour un certain polynôme non constant P , alors toutes les racines de P sont des valeurs propres de A. » rapport, p. 16 · la question, p. 2
• Centrale-Supélec 2025 · Mathématiques 2 MP, MPI · Q11 « Signalons que l’égalité de spectre d’une somme de matrices Sp(A + B) = Sp(A) + Sp(B) est un mythe (hormis si A ou B est une matrice scalaire). » rapport, p. 18 · la question, p. 3

1. exp(A) = ∑ Aᵏ/k!, série absolument convergente dans Mₙ(ℝ) ou Mₙ(ℂ).
2. exp(A + B) = exp(A) exp(B) seulement si A et B commutent : vérifie AB = BA avant de l’écrire.
3. Si A = PDP⁻¹, alors exp(A) = P exp(D) P⁻¹ ; si N est nilpotente d’indice p, la série s’arrête : exp(N) = I + N + … + N^{p−1}/(p − 1)!.
4. exp(A) est inversible, d’inverse exp(−A), et det exp(A) = e^{tr A}.

Exemple résolu. A = (1 1 ; 0 1) = I₂ + N, avec N = (0 1 ; 0 0) et N² = 0. I₂ et N commutent, donc exp(A) = exp(I₂) exp(N) = e(I₂ + N) = (e e ; 0 e).

Le piège. Écrire exp(A + B) = exp(A) exp(B) sans vérifier que A et B commutent, ou croire qu’une suite exp(Bₖ) bornée impose Bₖ bornée : les matrices 2iπk·Iₙ ont toutes pour exponentielle Iₙ.

Au concours, d’après les jurys.

• Mines-Ponts 2026 · Mathématiques 2 MP, MPI · Q28 « Il ne fallait pas oublier de préciser que les matrices N et D commutaient pour pouvoir affirmer que l’exponentielle de la somme était le produit des exponentielles. » rapport, p. 68
• Polytechnique 2024 · Mathématiques B MP, MPI · exponentielle « Rappelons que la relation exp(D + N ) = exp(D) exp(N ) nécessite que D et N commutent. » rapport, p. 7
• Polytechnique 2024 · Mathématiques B MP, MPI · Q13 « Une erreur assez fréquente ici est de dire que si une suite exp(Bk ) est bornée, alors la suite Bk aussi. » rapport, p. 6 · la question, p. 5

1. Le plus rapide : vérifie que les colonnes forment une famille orthonormée (chaque colonne de norme 1, deux colonnes distinctes orthogonales).
2. Sinon, calcule AᵀA et compare-le à Iₙ.
3. Récolte : A⁻¹ = Aᵀ, det A = ±1, et A conserve la norme et le produit scalaire.

Exemple résolu. A = (1/3)·(1 2 2 ; 2 1 −2 ; 2 −2 1). Chaque colonne a pour norme √(1 + 4 + 4)/3 = 1, et les produits scalaires des colonnes deux à deux valent (2 + 2 − 4)/9, (2 − 4 + 2)/9 et (4 − 2 − 2)/9, tous nuls. A est orthogonale ; comme elle est aussi symétrique, A⁻¹ = Aᵀ = A.

Le piège. Conclure avec det A = ±1 : c’est nécessaire, pas suffisant. La matrice diagonale diag(2, 1/2) a pour déterminant 1 et n’est pas orthogonale.

Au concours, d’après les jurys.

• CCINP 2025 · Oral MP, MPI · matrice orthogonale « Une caractérisation très souvent efficace est que A est orthogonale si et seulement si les colonnes de A forment une famille orthonormée. » rapport, p. 9
• Mines-Ponts 2025 · Oral de mathématiques MP-MPI MP, MPI · Matrices orthogonales « Pour certains candidats, la seule caractérisation des matrices orthogonales est M M T = In , alors que pour de nombreux exercices l’utilisation des propriétés sur les lignes et colonnes est nettement plus performante. » rapport, p. 10
• Mines-Ponts 2024 · Mathématiques 2 PC · Q2 « Le plus simple était de dire que les colonnes (ou les lignes) constituent une famille orthonormale. » rapport, p. 87

1. Bien défini : l’intégrale ou la série converge pour tout couple, souvent grâce à |fg| ⩽ (f² + g²)/2.
2. Symétrique, puis linéaire à gauche : la bilinéarité suit par symétrie.
3. Positif : φ(f, f) ⩾ 0.
4. Défini : si φ(f, f) = 0, l’intégrale nulle d’une fonction continue et positive impose f² = 0 sur l’intervalle ; pour des polynômes, une infinité de racines impose P = 0.

Exemple résolu. Sur ℝ[X], φ(P, Q) = ∫₀^{+∞} P(t)Q(t)e^{−t} dt. L’intégrale converge : P(t)Q(t)e^{−t} est négligeable devant 1/t² en +∞ (croissances comparées). Symétrie et linéarité sont immédiates, et φ(P, P) ⩾ 0. Si φ(P, P) = 0, la fonction continue et positive t ↦ P(t)²e^{−t} est nulle sur [0, +∞[ ; P a une infinité de racines, donc P = 0.

Le piège. Oublier de justifier que l’intégrale existe, ou oublier la continuité dans l’argument « intégrale nulle d’une fonction positive » : une fonction positive non continue peut avoir une intégrale nulle sans être nulle.

Au concours, d’après les jurys.

• Centrale-Supélec 2024 · Mathématiques 1 PSI · Q19 « […] il ne faut pas oublier de justifier l’existence de l’intégrale définissant le produit scalaire ; il ne faut pas oublier non plus l’hypothèse de continuité pour le caractère défini du produit scalaire […]. » rapport, p. 14 · la question, p. 2
• Mines-Ponts 2023 · Mathématiques 2 PC · Q12 « Nous aimerions voir écrit clairement qu’une somme de réels positifs est nulle si et seulement si chaque terme est nul. » rapport, p. 81

1. Si uₙ ne tend pas vers 0, la série diverge grossièrement.
2. Cherche un équivalent ou une majoration par une série de référence : ∑ 1/n^α converge si et seulement si α > 1 ; ∑ qⁿ converge si et seulement si |q| < 1.
3. Si le terme contient des factorielles ou des puissances n-ièmes, essaie la règle de d’Alembert sur uₙ₊₁/uₙ.
4. Si uₙ = f(n) avec f monotone, compare la somme à l’intégrale de f.

Exemple résolu. uₙ = ln(1 + 1/n²) est positif et équivalent à 1/n². La série de Riemann ∑ 1/n² converge (α = 2 > 1), donc ∑ uₙ converge.

Le piège. Utiliser un équivalent pour une série de signe variable : (−1)ⁿ/√n et (−1)ⁿ/√n + 1/n sont équivalents, mais la première série converge et la seconde diverge.

Au concours, d’après les jurys.

• BCE 2026 · emlyon ECG · séries « Pour les questions de convergence de séries, il est pertinent d’utiliser les outils de comparaison. Il faut néanmoins comparer les termes généraux des séries et pas les séries elles-mêmes. » rapport, p. 3
• CCINP 2026 · Mathématiques PC · Q30 « Q30 – Les valeurs absolues sont souvent oubliées lors de l’application de la règle de d’Alembert. » rapport, p. 3
• CCINP 2025 · Oral MP, MPI · d’Alembert « Trop de candidats pensent encore que si <1 (oubli de passage à la limite) alors, d’après un d’Alembert, la série de terme général un converge. » rapport, p. 5

1. Trouve un intervalle I stable par f et contenant u₀ : tous les termes y restent.
2. Étudie le signe de f(x) − x sur I : positif, la suite est croissante ; négatif, décroissante.
3. Une suite monotone et bornée converge.
4. Si f est continue sur I et que la limite ℓ appartient à I, alors f(ℓ) = ℓ : la limite est un point fixe.

Exemple résolu. u₀ = 1 et uₙ₊₁ = √(2 + uₙ). L’intervalle [0, 2] est stable. Sur [0, 2], √(2 + x) ≥ x, car x² − x − 2 = (x − 2)(x + 1) ≤ 0 : la suite est croissante et majorée par 2, donc converge vers ℓ ∈ [1, 2] avec √(2 + ℓ) = ℓ, soit ℓ = 2.

Le piège. Écrire f(ℓ) = ℓ avant d’avoir prouvé la convergence, ou croire que « f croissante » rend la suite croissante : elle la rend monotone, et le sens dépend du signe de u₁ − u₀.

Au concours, d’après les jurys.

• BCE 2025 · emlyon ECG · suite récurrente « c) Le fait que la suite (un) admette nécessairement une limite est rarement justifié. » rapport, p. 2
• Agro-Véto 2024 · Modélisation mathématique et informatique BCPST · Suite croissante majorée « — Il est souvent affirmé que « la suite est croissante est majorée par S donc elle converge vers S », alors que cela prouve seulement la convergence. » rapport, p. 3
• Polytechnique 2023 · Mathématiques PC · Q6 « Une majorité de candidats a incorrectement déduit l'unicité du point fixe à partir de l'unicité de la limite. » rapport, p. 2 · la question, p. 3

1. Produits, quotients et puissances fixées se transmettent : si u ∼ v et w ∼ z, alors uw ∼ vz et u/w ∼ v/z.
2. Sommes, différences et compositions ne se transmettent pas : passe par un développement limité ou asymptotique, avec un o( ) écrit.
3. Pour l’exponentielle, e^{u} ∼ e^{v} équivaut à u − v → 0 ; pour le logarithme, factorise d’abord : ln(n + 1) = ln n + ln(1 + 1/n).
4. Pour prouver u ∼ v, montre que u/v tend vers 1, v ne s’annulant pas à partir d’un certain rang.

Exemple résolu. n + √n ∼ n, mais e^{n + √n} n’est pas équivalent à e^{n} : leur quotient vaut e^{√n}, qui tend vers +∞. De même, (n + 1)^{n+1} n’est pas équivalent à n^{n+1} : leur quotient (1 + 1/n)^{n+1} tend vers e, pas vers 1.

Le piège. Passer un équivalent à l’exponentielle, soustraire deux équivalents, ou annoncer un équivalent nul : seule une suite nulle à partir d’un certain rang est équivalente à 0.

Au concours, d’après les jurys.

• BCE 2025 · emlyon ECG · Problème 1, question 7 « La Question 7. du Problème 1 a permis de mettre en lumière d’énormes difficultés pour une majorité de candidat.e.s à manipuler correctement (et sans écrire de réelles horreurs) les équivalents. » rapport, p. 3
• Mines-Ponts 2025 · Mathématiques 2 PC · Q19 « Attention, affirmer que ln(n + 1) est équivalent en l’infini à ln(n) sans le justifier par une factorisation dans le logarithme, sera considéré comme une composition d’équivalent et sanctionné. » rapport, p. 72
• Mines-Ponts 2025 · Oral de mathématiques MP-MPI MP, MPI · Développements limités « Les développements limités classiques sont en général bien connus, mais il manque souvent le o, dans les opérations les ordres ne sont pas respectés et il y a presque toujours des erreurs de calcul. » rapport, p. 9

1. Dis que f est monotone (et continue par morceaux) sur l’intervalle utile : tout repose là-dessus.
2. Si f est décroissante, pour t dans [k, k + 1] on a f(k + 1) ⩽ f(t) ⩽ f(k) ; en intégrant, f(k + 1) ⩽ ∫ₖ^{k+1} f ⩽ f(k).
3. Somme ces inégalités sur k : les intégrales se recollent par la relation de Chasles.
4. Si les deux bornes obtenues sont équivalentes, la somme leur est équivalente.

Exemple résolu. Hₙ = 1 + 1/2 + … + 1/n. La fonction t ↦ 1/t est décroissante sur [1, +∞[, donc 1/k ⩾ ∫ₖ^{k+1} dt/t pour k ⩾ 1 et 1/k ⩽ ∫_{k−1}^k dt/t pour k ⩾ 2. En sommant : ln(n + 1) ⩽ Hₙ ⩽ 1 + ln n. Or ln(n + 1) = ln n + ln(1 + 1/n), donc ln(n + 1) ∼ ln n, et 1 + ln n ∼ ln n : Hₙ ∼ ln n.

Le piège. Inverser les bornes (écrire ln(n + 1) ⩽ Hₙ ⩽ ln n, qui est impossible), ou affirmer ln(n + 1) ∼ ln n sans factoriser dans le logarithme. En PC, aucun théorème de comparaison série-intégrale n’est à citer : l’encadrement se déroule à chaque fois.

Au concours, d’après les jurys.

• Mines-Ponts 2025 · Mathématiques 2 PC · Q19 « Si la méthode semble identifiée par les candidats, sa mise en place se révèle souvent laborieuse, avec beaucoup d’erreurs dans les inégalités successives et leurs sommations. » rapport, p. 72
• Mines-Ponts 2024 · Mathématiques 2 PSI · Q3-Q4 « […] la plupart des candidats ne comprenant pas que l’observation de la monotonie devait les pousser à tenter une comparaison somme-intégrale. » rapport, p. 91

1. Vérifie la continuité par morceaux sur l’intervalle ouvert, puis traite chaque borne séparément.
2. Références : au voisinage de +∞, t ↦ 1/t^α est intégrable si et seulement si α > 1 ; au voisinage de 0, si et seulement si α < 1.
3. Compare |f| à une référence : majoration, équivalent (pour une fonction de signe constant), ou t^β·|f(t)| → 0 en +∞ avec β > 1.

Exemple résolu. f(t) = exp(−t)/√t sur ]0, +∞[ : en 0, f(t) ∼ 1/√t, intégrable car α = 1/2 < 1 ; en +∞, t²·f(t) = t^(3/2)·exp(−t) → 0, donc f est négligeable devant 1/t², intégrable. f est intégrable sur ]0, +∞[.

Le piège. Traiter les deux bornes d’un seul argument, ou oublier la valeur absolue : l’intégrabilité porte sur |f|.

Au concours, d’après les jurys.

• CCINP 2026 · Mathématiques PSI · intégrales (environ la moitié des copies) « […] continuité de l’intégrande souvent passée sous silence […] » rapport, p. 3
• Polytechnique 2026 · Mathématiques B MP, MPI · intégrales « En effet, c’est la majoration de l’intégrale de valeur absolue qui permet de montrer la convergence, et pas de la valeur absolue de l’intégrale. » rapport, p. 2
• CCINP 2025 · Mathématiques PC · Q14 « Exercice 2 (Les polynômes de Hermite) : Q14 – Peu de candidats pensent à mentionner la continuité par morceaux de la fonction intégrée, alors qu’il s’agit de la première chose à faire. » rapport, p. 2 · la question, p. 4

1. Repère les bornes à étudier : la fonction est continue sur l’intervalle ; si elle se prolonge par continuité en une borne finie, cette borne ne pose pas de problème.
2. En une borne où la fonction est positive, compare-la à une fonction de référence, par majoration (f ≤ g) ou par équivalent (f ∼ g) : ce sont les deux critères du programme.
3. Démontre la convergence de l’intégrale de référence avec une primitive : le programme ne donne pas de résultat général sur les intégrales de Riemann.
4. Si la fonction change de signe, montre la convergence absolue : elle suffit.

Exemple résolu. ∫₁^{+∞} dt/(t² + t). Sur [1, +∞[, la fonction est continue et 0 ≤ 1/(t² + t) ≤ 1/t². Pour A > 1, ∫₁^A dt/t² = 1 − 1/A tend vers 1 : ∫₁^{+∞} dt/t² converge, donc ∫₁^{+∞} dt/(t² + t) aussi. Avec 1/(t² + t) = 1/t − 1/(t + 1), ∫₁^A dt/(t² + t) = ln(A/(A + 1)) + ln 2, qui tend vers ln 2.

Le piège. Citer « ∫ dt/t^α converge si et seulement si α > 1 » comme un résultat du cours : le programme demande de démontrer tout résultat sur les intégrales de Riemann. Et le critère par équivalent ne vaut que pour des fonctions de signe constant. Le rapport Agro-Véto 2024 rappelle qu’un changement de variable donné par l’énoncé doit encore être justifié sur une intégrale généralisée.

1. Pour chaque x, t ↦ f(x, t) est continue par morceaux sur I ; pour chaque t, x ↦ f(x, t) est continue (ou de classe C¹) sur l’intervalle A des paramètres.
2. Domination : trouve φ intégrable sur I, qui ne dépend pas de x, avec |f(x, t)| ⩽ φ(t) pour tous x et t. Pour la dérivabilité, domine |∂f/∂x(x, t)| de la même façon, et vérifie que t ↦ f(x, t) est intégrable pour chaque x.
3. Si la domination échoue sur tout A, fais-la sur chaque segment [a, b] inclus dans A : continuité et dérivabilité sont locales, elles passent à tout A.
4. Conclus : F est continue, ou de classe C¹ avec F′(x) = ∫ ∂f/∂x(x, t) dt.

Exemple résolu. F(x) = ∫₀^{+∞} e^{−xt}/(1 + t²) dt pour x ⩾ 0. Continuité : |e^{−xt}/(1 + t²)| ⩽ 1/(1 + t²), intégrable sur [0, +∞[ et indépendante de x, donc F est continue sur [0, +∞[. Dérivabilité : ∂f/∂x(x, t) = −t e^{−xt}/(1 + t²). Pour x ⩾ a > 0, |∂f/∂x| ⩽ t e^{−at}, intégrable : F est de classe C¹ sur ]0, +∞[ et F′(x) = −∫₀^{+∞} t e^{−xt}/(1 + t²) dt.

Le piège. Un majorant qui dépend encore de x ne domine rien. Ici, en x = 0, t/(1 + t²) n’est pas intégrable : on ne peut dominer la dérivée que sur [a, +∞[. Et la domination sur un segment sert à la continuité, pas à une limite en +∞.

Au concours, d’après les jurys.

• Mines-Ponts 2026 · Mathématiques 1 MP, MPI · Q7 « Les hypothèses de régularités étaient assez souvent justifiées mais l’hypothèse de domination, pour laquelle les hypothèses de l’énoncé étaient légèrement insuffisantes a souvent été carrément oubliée. » rapport, p. 63
• CCINP 2025 · Mathématiques PC · Q17 « Q17 – Beaucoup de candidats tentent d’appliquer maladroitement le théorème de dérivation pour une intégrale à paramètre, alors qu’il s’agissait principalement de mentionner le théorème fondamental de l’intégration. » rapport, p. 2 · la question, p. 4
• CCINP 2025 · Oral de mathématiques MP-MPI MP, MPI · Intégrale à paramètre « Et certains continuent, pour l’hypothèse de domination, à majorer trop souvent par une fonction qui dépend encore des deux variables de la fonction initiale. » rapport, p. 7

1. Vérifie que chaque fₙ est continue par morceaux et que fₙ converge simplement vers une fonction f continue par morceaux.
2. Trouve φ intégrable, indépendante de n, telle que |fₙ(t)| ≤ φ(t) pour tout n et tout t.
3. Conclus par le théorème de convergence dominée : Iₙ tend vers ∫ f.

Exemple résolu. Iₙ = ∫ de 0 à +∞ de dt/(1 + tⁿ), pour n ≥ 2. La limite simple vaut 1 sur [0, 1[, 1/2 en 1 et 0 sur ]1, +∞[. Domination : φ(t) = 1 sur [0, 1] et φ(t) = 1/t² sur ]1, +∞[, car tⁿ ≥ t² pour t > 1. φ est intégrable, donc Iₙ → ∫ de 0 à 1 de dt = 1.

Le piège. Une domination qui dépend de n ne prouve rien : « |fₙ(t)| ≤ n·exp(−nt) » ne permet pas de conclure.

Au concours, d’après les jurys.

• CCINP 2025 · Mathématiques PC · Q30 « Q30 – Il est indispensable de s’appuyer sur un théorème du cours et d’en vérifier les hypothèses pour pouvoir intervertir l’intégrale et la somme. » rapport, p. 3 · la question, p. 6
• Mines-Ponts 2025 · Mathématiques 2 PC · Q6 « Ici encore, une simple majoration suffisait alors que la majorité des copies utilisaient un théorème de convergence dominée, ce qui a parfois entraîné des erreurs. » rapport, p. 71
• Mines-Ponts 2024 · Mathématiques 1 MP, MPI · Q9-Q10 « La meilleure solution consistait à faire un contrôle de reste, technique à laquelle on peut penser en présence d’une série alternée. » rapport, p. 75

1. Écris X = 1(A₁) + … + 1(Aₙ), où 1(A) vaut 1 si A est réalisé et 0 sinon.
2. Par linéarité, E(X) = P(A₁) + … + P(Aₙ), sans aucune hypothèse d’indépendance.
3. Pour la variance, développe : V(X) est la somme des variances plus deux fois la somme des covariances Cov(1(Aᵢ), 1(Aⱼ)) pour i < j.

Exemple résolu. n lettres sont glissées au hasard dans leurs n enveloppes. Avec Aᵢ = « la lettre i est dans sa bonne enveloppe », P(Aᵢ) = 1/n, donc le nombre moyen de lettres bien placées vaut n × 1/n = 1, quel que soit n.

Le piège. Croire que la linéarité de l’espérance demande l’indépendance. C’est la variance d’une somme qui en a besoin, ou au moins des covariances nulles.

1. Nomme un système complet d’événements (A₁, …, Aₙ) : deux à deux incompatibles et de réunion Ω.
2. Écris P(B) = P(A₁) P(B | A₁) + … + P(Aₙ) P(B | Aₙ), en sommant sur tous les cas, chacun de probabilité non nulle.
3. Pour une suite d’états (Xₙ), le système complet est formé des événements (Xₙ₋₁ = j), pour toutes les valeurs j possibles.

Exemple résolu. Urne 1 : 2 boules blanches et 1 noire ; urne 2 : 1 blanche et 3 noires. On choisit l’urne 1 avec probabilité 1/3, l’urne 2 avec probabilité 2/3, puis on tire une boule. Avec le système complet (U₁, U₂) : P(B) = (1/3)(2/3) + (2/3)(1/4) = 2/9 + 1/6 = 7/18.

Le piège. Oublier la somme sur tous les états précédents, ou écrire « A | B » comme s’il s’agissait d’un événement : seule P(A | B) a un sens.

Au concours, d’après les jurys.

• BCE 2026 · ESSEC (maths 2) ECG · question 9 « Dans la question 9, la formule des probabilités totales n'est pas souvent évoquée (et un système complet d'événements). » rapport, p. 3
• BCE 2026 · emlyon ECG · événements et probabilités « Il est fréquent de voir des intersections de probabilités ou des sommes d’événements ce qui n’a bien sûr pas de sens. » rapport, p. 4
• CCINP 2025 · Oral PSI · probabilités conditionnelles « Probabilités Les définitions et notations doivent être maîtrisées : la distinction entre A ∩ B et A│B est souvent mal faite. » rapport, p. 3

1. Passe par les événements « ≤ » ou « > » : {max ≤ x} est l’intersection des {Xᵢ ≤ x}, et {min > x} celle des {Xᵢ > x}.
2. Par indépendance, P(max ≤ x) est le produit des P(Xᵢ ≤ x), et P(min > x) le produit des P(Xᵢ > x).
3. Déduis-en la loi : différence de deux valeurs consécutives dans le cas discret, dérivée de la fonction de répartition dans le cas à densité.

Exemple résolu. X et Y indépendantes, de lois géométriques de paramètres p et q sur ℕ* : P(X > k) = (1 − p)^k, donc P(min(X, Y) > k) = [(1 − p)(1 − q)]^k. Le minimum suit la loi géométrique de paramètre 1 − (1 − p)(1 − q).

Le piège. Écrire P(max = x) comme le produit des P(Xᵢ = x) : le produit vaut pour les événements « ≤ », pas « = ».

1. Markov : si X ≥ 0 et a > 0, P(X ≥ a) ≤ E(X)/a.
2. Bienaymé-Tchebychev : si X admet une variance, P(|X − E(X)| ≥ ε) ≤ V(X)/ε² pour tout ε > 0.
3. La moyenne de n variables indépendantes de même loi, de variance σ², a pour variance σ²/n : c’est le ressort de la loi faible des grands nombres.

Exemple résolu. 1 000 lancers d’une pièce équilibrée, fréquence F de pile : E(F) = 1/2 et V(F) = 1/(4 × 1 000). Donc P(|F − 1/2| ≥ 0,05) ≤ (1/4 000)/0,05² = 0,1.

Le piège. Appliquer Markov à une variable qui peut être négative, ou prendre la borne pour une estimation : elle majore, souvent largement.

Au concours, d’après les jurys.

• BCE 2026 · ESSEC (maths 2) ECG · inégalité de Markov « La plupart des candidats ne se soucient pas de la positivité de la variable à laquelle ils appliquent la formule de Markov. » rapport, p. 3
• CCINP 2025 · Mathématiques PSI · Bienaymé-Tchebychev « L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev est connue, mais trop peu de candidats rappellent l’énoncé général et l’appliquent directement au cas particulier. » rapport, p. 3
• Mines-Ponts 2025 · Mathématiques 1 MP, MPI · Q6 « L’inégalité de Markov était indiquée, elle était en général bien connue mais souvent mal appliquée. » rapport, p. 65

1. Étudie h = g − f : signe de h′, puis valeur de h en un point bien choisi.
2. Une fonction convexe est au-dessus de ses tangentes et au-dessous de ses cordes : une inégalité entre une fonction et une droite est souvent une convexité.
3. Inégalité des accroissements finis : si |f′| ≤ M sur [a, b], alors |f(b) − f(a)| ≤ M·|b − a|.

Exemple résolu. Pour tout x > −1, ln(1 + x) ≤ x : la fonction x ↦ ln(1 + x) est concave, et y = x est sa tangente en 0. Même argument pour exp(x) ≥ 1 + x, avec la convexité de l’exponentielle.

Le piège. Conclure du seul signe de h′ sans évaluer h en un point : h croissante ne dit pas que h est positive.

Au concours, d’après les jurys.

• Mines-Ponts 2023 · Mathématiques 2 PSI · Q12 « On rappelle que l’inégalité ∀x ∈ R, ex ≥ 1 + x figure explicitement au programme, et qu’il était donc judicieux de la citer sous cette forme puis d’indiquer qu’on l’applique à −λ. » rapport, p. 84